Question

14．已知函数f（x）=1-$\frac{a}{x}$-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x+$\frac{a}{x}$-1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）设函数h（x）=3λa-2a²（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（-∞，0]∪[${\frac{8}{3}$，+∞）时，求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式求出函数的导数，求出斜率以及切点坐标，求解切线方程．
（Ⅱ）化简函数Γ（x）的解析式，求出函数的导数，通过①当a=0时，②当a＞0时，分别通过函数的极值点，判断函数的单调性．求出单调区间．
（Ⅲ）通过函数的导数为0，求出极值点，利用题意转化为函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，求出a的范围然后求解h（a）_max值即可

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1-$\frac{1}{x}-lnx$
$f′（x）=\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，则f′（$\frac{1}{2}$）=4-2=2，$f（\frac{1}{2}）=ln2-1$
∴函数f（x）的图象在点（$\frac{1}{2}，ln2-1）$的切线方程为：y-（ln2-1）=2（x-$\frac{1}{2}$），
即2x-y+ln2-2=0．
（Ⅱ）∵f（x）=1-$\frac{a}{x}$-lnx（a∈R）．Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x+$\frac{a}{x}$-1+f（x）=Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x-lnx
Γ′（x）=ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a-1）x-1}{x}$
①当a=0时，Γ′（x）=$\frac{x-1}{x}$
由Γ′（x）=$\frac{x-1}{x}$≤0及x＞0可得：0＜x≤1，Γ（x）的单调递减区间为（0.1]
②当a＞0时，Γ′（x）=ax+（1-2a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a-1）x-1}{x}$
．由ax²-（2a-1）x-1=0可得：△=（2a-1）²+4a=4a²+1＞0
设其两根为x₁，x₂，因为${x}_{1•}{x}_{2}=-\frac{1}{a}＜0$，所以x₁x₂一正一负
设其正根为x₂，则x₂₌$\frac{2a-1+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$
由Γ′（x）=$\frac{a{x}^{2}-（2a-1）x-1}{x}$≤0及x＞0可得0$＜x＜\frac{2a-1+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$
∴Γ（x）=的单调递减区间为（0，$\frac{2a-1+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$]．
（Ⅲ）f′（x）=$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{{x}^{2}}$，由f′（x）=0⇒x=a
由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2 
对于h（a）=3λa-2a²，对称轴a=$\frac{3}{4}λ$
当或$\frac{3λ}{4}≤0或\frac{3λ}{4}≥2$，即λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$时，h（a）_max=h（$\frac{3λ}{4}）$）=$\frac{9}{8}{λ}^{2}$
当0$＜\frac{3λ}{4}≤1$，即0＜λ≤1时，h（a）_max=h（0）═0，
当$1＜\frac{3λ}{4}＜2，即\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}时，h（a）max=h（2）=6λ-8$；
综上可知：h（a）_max=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{8}{λ}^{2}..（λ≤0或λ≥\frac{8}{3}）}\\{0…（0＜λ≤\frac{4}{3}）}\\{6λ-8…（\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}）}\end{array}\right.$

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值最值的求法，考查分类讨论以及转化思想的应用．属于压轴题．