Question

18．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，离心率e=$\frac{1}{2}$，F₁，F₂分别为左、右焦点，AB是过右焦点的弦．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）求△ABF₁的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），可得c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）设直线AB的方程为：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（3m²+4）y²+6my-9=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（I）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），即椭圆的右焦点为（1，0）
∴c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，解得c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）设直线AB的方程为：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$．
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$=f（m），
令$\sqrt{1+{m}^{2}}$=t≥1，则f（m）=$\frac{12t}{1+3{t}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{1}{t}+3t}$．
令g（t）=3t+$\frac{1}{t}$，则g′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数g（t）在t∈[1，+∞）上单调递增，∴t=1时，g（t）取得最小值4，
因此m=0时，f（m）取得最大值3．
∴AB⊥x轴时，△ABF₁的面积取得最大值4．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．