Question

2．若函数f（x）=$\frac{{lnx+{{（x-b）}^2}}}{2}$（b∈R）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{9}{4}$）
• B． （-∞，3）
• C． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• D． （-∞，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围．

解答 解：∵函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{x}$+2（x-b）]=$\frac{2{x}^{2}-2bx+1}{2x}$，
设h（x）=2x²-2bx+1，则h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即8-4b+1＞0或$\frac{1}{2}$-b+1＞0，
得b＜$\frac{9}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力．