Question

13．△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∠A=135°，MN是BC边的两个三等分点，求cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$＞．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，分别求出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案

解答 解：以A为坐标原点，AB、AB的垂线方向为x，y轴正方向建立坐标系，
∵AB=2，AC=$\sqrt{2}$，∠A=135°，
∴∠CAF=45°，
可得A（0，0），B（2，0），C（-1，1），
又∵MN是BC边的两个三等分点，
则M（1，$\frac{1}{3}$），N（0，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（1，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AN}$=（0，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=1×0+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，|$\overrightarrow{AM}$|=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，|$\overrightarrow{AN}$|=$\frac{2}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{\frac{2}{9}}{\frac{\sqrt{10}}{3}×\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$

点评 本题考查平面向量数量积的运算，将向量数量积的运算坐标化是解决问题的关键，属中档题．