Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，且（1-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，则△ABC周长的最大值为3．

Answer 1

分析 由已知可得（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=（c-b）c，利用余弦定理可得A，再利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质即可得出．

解答 解：在ABC中，∵a=1，（1-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，
∴（a-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，
由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=（c-b）c，
化为：b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴△ABC周长=1+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-B）]=1+2sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴△ABC周长的取值范围是（2，3]．
∴△ABC周长的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差化积、三角函数求值，正弦函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．