题目内容

14．已知m≥1，当x∈R时，不等式m+cos2x＜3+2sinx+$\sqrt{2m+1}$恒成立，则m的取值范围是[1，4）．

分析 分离参数得m-$\sqrt{2m+1}$＜3+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+2=（sinx+1）2+1≤1．于是m-$\sqrt{2m+1}$＜1，解出m即可．

解答 解：∵m+cos2x＜3+2sinx+$\sqrt{2m+1}$，
∴m-$\sqrt{2m+1}$＜3+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+2=（sinx+1）2+1．
∵-1≤sinx≤1．
∴1≤（sinx+1）2+1≤5．
∴m-$\sqrt{2m+1}$＜1．即m-1＜$\sqrt{2m+1}$．
∵m≥1，∴（m-1）2＜2m+1，即
解得0＜m＜4．
∴1≤m＜4．
故答案为：[1，4）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，二次不等式的解法，属于中档题．

练习册系列答案
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