Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）若平面PAD⊥平面ABCD，点N是PC的中点，求二面角N-BQ-C的余弦值；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：（1）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面NQB的法向量

n1

，取平面BQC的法向量

n2

=（0，0，1），根据向量的夹角公式即可求出二面角N-BQ-C的余弦值．
（2）当t=

1

3

时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而

PM

PC

=

AN

NC

=

1

3

，即：PM=

1

3

PC，从而求出t的值；

解答： 解：（1）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD…（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，则四边形ABCD为菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，
Q为AD中点，
∴AD⊥BQ，…（4分）
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为：
Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），N（-1，

3

2

，

3

2

），
∴

QN

=（-1，

3

2

，

3

2

），
设

n1

=（x，y，z）是平面NBQ的一个法向量，则

n1

•

QN

=0，

n1

•

QB

=0，
∴

-x+ 3 2 y+ 3 2 z=0 3 y=0

，
∴

n1

=（

3

2

，0，1），
又∵

n2

=（0，0，1）平面BQC的一个法向量，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

2 7

7

，
∴二面角N-BQ-C的余弦值是

2 7

7

．…（7分）
（2）当t=

1

3

时，PA∥平面MQB，
下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

，…（9分）
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，…（11分）
∴

PM

PC

=

AN

NC

=

1

3

，即：PM=

1

3

PC，
∴t=

1

3

．…（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定，考查了转换思想，属于中档题．