Question

11．已知复数$ω=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$
（1）分别计算ω² 和$\frac{1}{1+ω}$的值；
（2）在复平面内，复数ω对应的向量为$\overrightarrow{OA}$，复数ω²对应的向量为$\overrightarrow{OB}$．求向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数z及复数z的模．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
（2）利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出．

解答 解：（1）ω²=$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$\frac{1}{4}-\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴$\frac{1}{1+ω}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
（2）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，
ω²-ω=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$\sqrt{3}$i，
向量$\overrightarrow{AB}$对应的复数z=$\sqrt{3}$i，|z|=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．