题目内容

函数 $数学公式$ 内单调递增，则a的取值范围

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：将函数看作是复合函数，令g（x）=x³-2ax+2a-1，将函数f（x）的单调性问题转化为g（x）恒大于零且g′（x）恒正、恒负问题，通过分类讨论，解决不等式恒成立问题即可得a的范围
解答：设g（x）=x³-2ax+2a-1=（x-1）（x²+x+1-2a），g′（x）=3x²-2a
当a∈（0，1）时，函数 $\text{[math]}$ 内单调递增，等价于g（x）在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内单调递减且g（x）＞0在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内恒成立
∴g′（x）≤0在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内恒成立且g（x）＞0在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内恒成立
∴3x²-2a≤0恒成立且g（0）≥0
只需 $\text{[math]}$ ，解得a≥ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤a＜1
当a∈（1，+∞）时，函数 $\text{[math]}$ 内单调递增，等价于g（x）在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内单调递增且g（x）＞0在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内恒成立
∴g′（x）≥0在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内恒成立且g（x）＞0在区间（- $\text{[math]}$ ，0）内恒成立
∴3x²-2a≥0恒成立且g（- $\text{[math]}$ ）≥0
由于x=0时，3x²-2a=-2a＜0，故上式不可能恒成立，故a∈（1，+∞）不合题意
综上所述： $\text{[math]}$ ≤a＜1
故选A
点评：本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用，对数函数的性质，分类讨论和转化化归的思想方法，解题时一定要注意函数的定义域．