Question

16．已知集合{（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$}表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x²+y²≤3的概率为$\frac{9}{64}$π．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图
则对应的区域为△AOB，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，即B（4，-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为（2，0），
则△OAB的面积S=$\frac{1}{2}×2×（\frac{4}{3}+4）$=$\frac{16}{3}$，
点P的坐标满足不等式x²+y²≤2区域面积S=$\frac{1}{4}•π•3$=$\frac{3π}{4}$，
则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x²+y²≤3的概率为$\frac{\frac{3}{4}π}{\frac{16}{3}}$=$\frac{9}{64}$π，
故答案为：$\frac{9}{64}$π．

点评 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．