Question

（本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD中，，AD = AB = 2， BC = 3，E，F分别是AD,BC上的两点，且AE =BF＝1，G为AB中点,将四边形ABCD沿EF折起到（如图2）所示的位置，使得EG丄GC，连接 AD、BC、AC得（图2）所示六面体．

（1）求证：EG丄平面CFG;

（2）求二面角A —CD-E的余弦值．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：证明：（Ⅰ）分别是上的两点，

四边形为矩形

折叠后，即平面

连接

由已知得

平面 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

平面

7分

如图建系则（1,0,2）（0,2,0）（0,1,2）

设=为平面的法向量，

得．则令得 9分

又为平面的法向量，

设二面角为，则，即 12分

考点：1、直线与平面垂直的判定；2、求二面角的余弦值．