题目内容

设函数f（x）=a1nx+ $数学公式$ -2x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，试求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）当a≥0时，试求函数f（x）的单调区间．

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=1时，f（x）=1nx+ $\text{[math]}$ -2x，因为 $\text{[math]}$ ，…（3分）
所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，则当x=e时，函数f（x）取得最大值f（e）=1+ $\text{[math]}$ -2e．…（5分）
（Ⅱ）求导函数，可得 $\text{[math]}$ ．…（6分）
当a=0时，因为f′（x）=-2＜0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；…（7分）
当a＞0时，
（1）当△=4-4a²≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；…（9分）
（2）当△=4-4a²＞0时，即0＜a＜1时，由f′（x）＞0解得，0＜x＜ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．…（10分）
由f′（x）＜0解得 $\text{[math]}$ ； …（11分）
所以当0＜a＜1时，函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；在 $\text{[math]}$ 上单调递减， $\text{[math]}$ 单调递增．…（13分）
分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数f（x）在区间[1，e]上单调递增；
（Ⅱ）求导函数，再分类讨论．分a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函数的单调区间．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确利用导数是关键．