Question

10．当x＞y＞e-1时，证明不等式：e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

Answer 1

分析 原不等式即为$\frac{{e}^{x+1}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y+1}}{ln（y+1）}$，构造函数h（t）=$\frac{{e}^{t}}{lnt}$，求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证．

解答 证明：不等式e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）即为
e^x+1ln（1+y）＞e^y+1ln（1+x），
由x+1＞y+1＞e，即有$\frac{{e}^{x+1}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y+1}}{ln（y+1）}$．
构造函数h（t）=$\frac{{e}^{t}}{lnt}$，
则h′（t）=$\frac{{e}^{t}（lnt-\frac{1}{t}）}{l{n}^{2}t}$，
可知函数在（e，+∞）上h′（t）＞0，
即函数h（x）在（e，+∞）上单调递增，
由于x＞y＞e-1，可得x+1＞y+1＞e，即有$\frac{{e}^{x+1}}{ln（x+1）}$＞$\frac{{e}^{y+1}}{ln（y+1）}$，
即为e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用导数判断单调性，考查推理能力，属于中档题．