Question

（本题满分14分）已知函数,（其中）.

（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间；

（Ⅱ）求方程在区间上实数解的个数.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别求出函数和的极值点，让其相等即可解决即或，注意分类讨论；（Ⅱ）注意到，令分三种情况进行讨论，在的情况较为复杂，当即或时,若,由于,三个点函数值正负已确定，易得原方程有唯一实数解；若时,由于,由于函数值正负情况不知，所以需分类讨论即当与最终才会获解

试题解析：（Ⅰ）,

则, 1分

令,得或,而二次函数在处有极大值,所以或,

解得或； 4分

当时,的递增区间为,,递减区间为. 5分

当时,的递增区间为,递减区间为. 6分

（Ⅱ）

, 8分

令,,

当即时,无实根,故原方程的解为,满足题意,

即原方程有唯一实数解； 9分

当即或时,

若,则的实数解为,故原方程在区间上有唯一实数解；

若,则的实数解为,故原方程在区间上有两实数解,或； 10分

当即或时,

若,由于,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解； 11分

若时,由于,

当即时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解；

若即时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解； 13分

综上,当时,原方程在上无实数解；

当或时,原方程在上有唯一实数解；

当时,原方程在上有两不等实数解. 14分

考点：导数及其综合应用