Question

设函数f(x)=

1

xlnx

(x＞0且x≠1)
（1）若f'（x₀）=0，求x₀的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）已知2

1

x

＞xa对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=-

lnx+1

x2ln2x

，f'（x₀）=0，即

lnx0+1

x02ln2x0

=0，
所以lnx₀+1=0，解得x0=

1

e

；
（2）f′（x）=-

lnx+1

x2ln2x

，
令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

e

，f（x）递增；令f′（x）＜0，得x＞

1

e

且x≠1，
所以函数f（x）的增区间为（0，

1

e

），减区间为（

1

e

，1），（1，+∞）；
（3）在2

1

x

＞xa两边取对数，得

1

x

ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

（1），
由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，f（x）≤f（

1

e

）=-e，
为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2．