Question

函数f（x）=2^x+2-3•4^x且x²+x≤0，则其最大值和最小值分别是

 

．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：令2^x=t，则由x²+x≤0可得x≤-1，或 x≥0，可得0＜t≤

1

2

，或t≥1．再根据 f（x）=-3(t-

2

3

)2+

4

3

，利用二次函数的性质求得它的值域，可得结论．

解答： 解：令2^x=t，则由x²+x≤0可得x≤-1，或 x≥0，故0＜t≤

1

2

，或t≥1，
再根据 f（x）=2^x+2-3•4^x =g（t）=-3t²+4t=-3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∴当0＜t≤

1

2

 时，g（t）≤g（

1

2

）=-3×

1

4

+4×

1

2

=

5

4

，且g（t）＞g（0）=0，即g（t）∈（0，

5

4

]；
当t≥1时，g（t）≤g（1）=1．
综上可得，g（t）∈（0，

5

4

]∪（-∞，1]=（-∞，

5

4

]，
故答案为：

5

4

；不存在．

点评：本题主要考查指数函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．