Question

已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=3，M，N分别是棱BB₁，BC上的点，且BM=2，BN=1，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）异面直线DM与AN所成角的余弦值；
（2）直线DM与平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线DM与AN所成角的余弦值；
（2）求出平面AMN的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线DM与平面AMN所成角的正弦值．
解答：解：由题意知，D（2，0，0），B（0，4，0），A₁（0，0，3），M（0，4，2），N（1，4，0），
（1），，
∴，…（5分）
∴异面直线DM与AN所成角的余弦值为．       …（7分）
（2），，
设平面AMN的法向量为=（x，y，z），
则，即，解得，
不妨取x=4，则y=-1，z=2，故平面AMN的一个法向量为=（4，-1，2），（10分）
则，…（12分）
根据图形可知，直线DM与平面AMN所成角的正弦值为． …（14分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查空间角，考查学生的计算能力，正确运用向量的夹角公式是关键．