Question

11．已知圆M：x²+（y-2）2=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作⊙M的切线PA，切点是A．
（1）若t=0，|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{5}$，求直线PA的方程；
（2）若经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求|$\overrightarrow{DO}$|的最小值；
（3）在（2）的条件下，$\overrightarrow{DO}$²的最小值为g（t），若在区间[-6，0]上任取一个数，求该数能使函数y=g（t）-$\frac{4}{5}$存在无穷多个零点的概率．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，因为P在直线l上，所以设P的坐标为（a，2a），然后由M和P的坐标，利用两点间的距离公式表示出MP的长，根据|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{5}$，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到P的坐标，设过P点切线方程的斜率为k，根据P的坐标和斜率k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离公式等于半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心M到切线方程的距离d，让d等于圆的半径r，即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线PA的方程即可；
（2）D的轨迹为x-2y+2=0，此轨迹与l平行，所以|$\overrightarrow{DO}$|最小值为两平行直线间的距离；
（3）可得DO²=f（a）=${a}^{2}+（\frac{a}{2}+1）^{2}$=$\frac{5}{4}（a+\frac{2}{5}）^{2}+\frac{4}{5}$，a∈[$\frac{t}{2}$，$\frac{t+4}{2}$]，分三种情况，利用二次函数的图象即可求出函数的最小值即可得出结论．

解答 解：（1）由圆M：x²+（y-2）²=1，得到圆心M（0，2），半径r=1，
设P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M（0，2），|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（2a）^{2}+（a-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
解得a=1或a=-$\frac{1}{5}$（舍去）．
∴P（2，1）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直线PA与圆M相切，
∴$\frac{|-2-2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）设P（2a，a）（t≤2a≤t+4），
因为PA切⊙M，所以PA⊥MA，
所以D是MP的中点，
设D（x，y），易知$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{a+2}{2}}\end{array}\right.$，
所以D的轨迹为x-2y+2=0，此轨迹与l平行，
所以|$\overrightarrow{DO}$|最小值为两平行直线间的距离，d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）由题意，D的坐标是（a，$\frac{a}{2}$+1）．
可得DO²=f（a）=${a}^{2}+（\frac{a}{2}+1）^{2}$=$\frac{5}{4}（a+\frac{2}{5}）^{2}+\frac{4}{5}$，a∈[$\frac{t}{2}$，$\frac{t+4}{2}$]．
当$\frac{t}{2}$＞-$\frac{2}{5}$，即t＞-$\frac{4}{5}$时，f（a）_min=$\frac{5}{16}{t}^{2}+\frac{t}{2}$+1；
当$\frac{t}{2}≤-\frac{2}{5}≤\frac{t}{2}+2$，即-$\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}$时，f（a）_min=$\frac{4}{5}$；
当$\frac{t}{2}+2＜-\frac{2}{5}$，即t＜-$\frac{24}{5}$时，f（a）_min=$\frac{15}{16}{t}^{2}$+3t+8

所以线段DO长的最小值为：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{16}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+1，t＞-\frac{4}{5}}\\{\frac{4}{5}，-\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}}\\{\frac{5}{16}{t}^{2}+3t+8，t＜-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$；
令g（t）=$\frac{4}{5}$，-$\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}$，有无穷多个解，
当g（t）＞$\frac{4}{5}$时，有两解，
当g（t）＜$\frac{4}{5}$时无解；
所以y=g（t）-$\frac{4}{5}$存在无穷多个零点的t的取值范围是-$\frac{24}{5}≤t≤-\frac{4}{5}$，
所以P=$\frac{-\frac{4}{5}-（-\frac{24}{5}）}{0-（-6）}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题给出直线与圆相切，求切线的方程并求线段长的最小值．着重考查了圆的方程、直线的方程、直线与圆的位置关系和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．