Question

20．设函数f（x）=|x-m|．
（1）当m=3时，解不等式f（x）≥5-|x-1|；
（2）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，$\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}$=m（a＞0，b＞0），求证：3a+2b≥4．

Answer 1

分析 （1）对x进行讨论，去绝对值号，解不等式即可；（2）求出m，得出a，b的关系，再利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：（1）m=3时，f（x）≥5-|x-1|等价于|x-3|+|x-1|-5≥0，
当x≤1时，不等式为3-x+1-x-5≥0，解得x≤-$\frac{1}{2}$；
当x≥3时，不等式为x-3+x-1-5≥0，解得x≥$\frac{9}{2}$；
当1＜x＜3时，不等式为3-x+x-1-5≥0，不等式无解．
综上，不等式≥解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）．
（2）证明：f（x）≤1即|x-m|≤1，∴-1≤x-m≤1，
即m-1≤x≤m+1，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{m+1=2}\end{array}\right.$，解得：m=1，
故$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$=1，
∴3a+2b=（3a+2b）（$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$）=2+$\frac{3a}{2b}$+$\frac{2b}{3a}$≥2+2$\sqrt{\frac{3a}{2b}•\frac{2b}{3a}}$=4，
故3a+2b≥4．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．