Question

已知点是抛物线上不同的两点，点在抛物线的准线上，且焦点

到直线的距离为.

(I）求抛物线的方程；

（2）现给出以下三个论断：①直线过焦点；②直线过原点；③直线平行轴．

请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.

 

Answer 1

（1） ；（2）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由点F到直线的距离为可求得抛物线中.从而得到抛物线方程.

（2）根据题意共有三种情况：i) ①直线过焦点；②直线过原点.由直线AB与抛物线的方程联立结合韦达定理，表示出点D,B的坐标即可得到③直线平行轴.ii) ①直线过焦点;③直线平行轴同样是表达出点D,B的坐标即可得到点A,O,D三点共线，即可得到结论.iii) ②直线过原点；③直线平行轴表达出点A,B的坐标关系即可得到点A,F,B三点共线，即得到结论.

（I）因为， 依题意得, 2分

解得，所以抛物线的方程为 4分

（2）①命题：若直线过焦点，且直线过原点，则直线平行轴.

5分

设直线的方程为，， 6分

由 得，

， 8分

直线的方程为， 9分

所以点的坐标为，

， 12分

直线平行于轴． 13分

②命题：若直线过焦点，且直线平行轴，则直线过原点.

5分

设直线的方程为，， 6分

由 得，

， 8分

即点的坐标为， 9分

∵直线平行轴，∴点的坐标为， 10分

∴，，

由于，

∴∥，即三点共线， 12分

∴直线过原点． 13分

③命题：若直线过原点，且直线平行轴，则直线过焦点. 5分

设直线的方程为，则点的坐标为， 6分

∵直线平行轴，

∴，∴，即点的坐标为， 8分

由得，

∴即点的坐标为， 10分

∴，

由于，

∴∥，即三点共线， 12分

∴直线过焦点． 13分

考点：1.抛物线的性质.2.直线与抛物线位置关系.3.韦达定理的应用.4.三点共线的判定.