Question

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n，n=1，2，3，…
（I）求a₁、a₂、a₃；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：fn(

1

3

)＜1．

Answer 1

分析：（I）将x=-1代入函数f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中，分别令n=1，2，3便可以求出a₁、a₂、a₃的值；
（II）利用题中的公式先求出a_n+1的表达式即可求出数列a_n的通项公式；
（III）利用数列的差项相减法便可求出f_n（

1

3

）的表达式，进而可以证明fn(

1

3

)＜1．

解答：解：由已知f₁（-1）=-a₁=-1，所以a₁=1（1分）
f₂（-1）=-a₁+a₂=2，所以a₂=3，
f₃（-1）=-a₁+a₂-a₃=-3，所以a₃=5（3分）
（II）∵（-1）ⁿ⁺¹•a_n+1=f_n+1（-1）-f_n（-1）=（-1）ⁿ⁺¹•（n+1）-（-1）ⁿ•n
∴a_n+1=（n+1）+n
即a_n+1=2n+1
所以对于任意的n=1，2，3，a_n=2n-1（7分）
（III）f_n（x）=x+3x²+5x³++（2n-1）xⁿ
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ           ①

1

3

f_n（

1

3

）=（

1

3

）²+3（

1

3

）³+5（

1

3

）⁴+…+（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹   ②
①─②，得

2

3

f_n（

1

3

）=（

1

3

）+2（

1

3

）³+2（

1

3

）⁴+…+2（

1

3

）ⁿ-（2n-1）（

1

3

）ⁿ⁺¹ （9分）
=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-

2n-2

3

(

1

3

)n
∴fn(

1

3

)=1-

n-1

3n

，（12分）
又n=1，2，3，故fn(

1

3

)＜1（13分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式以及数列与函数的综合运用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．