题目内容
在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在他们之间的此岸边合建一个污水处理厂C，从污水处理厂到甲厂和乙厂的铺设的排污管道费用分别为每千米3a元和5a元，记铺设管道的总费用为y元．（1）按下列要求建立函数关系式：
设∠BCD=θ（rad），将y表示成θ的函数；
设CD=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总费用最少．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：应用题,导数的综合应用
分析：（1）法一：设∠BCD=θ，则BC=
，CD=40cotθ，（0＜θ＜
），AC=50-40cotθ，可表示y；法二：设CD=xkm，则BD=40，AC=50-x，BC=
=
，可表示函数y；
（2）选法二：利用导数可求函数的最值，得到结论；
| 40 |
| sinθ |
| π |
| 2 |
| BD2+CD2 |
| x2+402 |
（2）选法二：利用导数可求函数的最值，得到结论；
解答：
解：（1）解法一：设∠BCD=θ，则BC=
，CD=40cotθ，（0＜θ＜
），∴AC=50-40cotθ，
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）=3a（50-40•cotθ）+5a•
=150a+40a•
；
解法二：设C点距D点xkm，则CD=xkm，
∵BD=40，AC=50-x，∴BC=
=
，
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=3a（5a-x）+5a
（0＜x＜50），
（2）设CD=xkm，则y=30（5a-x）+5a
（0＜x＜50），
y′=-3a+
，令y′=0，解得x=30，
在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50-x=20（km），
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
| 40 |
| sinθ |
| π |
| 2 |
设总的水管费用为f（θ），依题意，有
f（θ）=3a（50-40•cotθ）+5a•
| 40 |
| sinθ |
| 5-3cosθ |
| sinθ |
解法二：设C点距D点xkm，则CD=xkm，
∵BD=40，AC=50-x，∴BC=
| BD2+CD2 |
| x2+402 |
又设总的水管费用为y元，依题意有：
y=3a（5a-x）+5a
| x2+402 |
（2）设CD=xkm，则y=30（5a-x）+5a
| x2+402 |
y′=-3a+
| 5ax | ||
|
在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50-x=20（km），
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
点评：该题考查利用导数研究函数的最值，根据实际问题背景建立恰当函数是解决问题的关键．
练习册系列答案
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