Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$，则椭圆离心率的范围是$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}]$．

Answer 1

分析 设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出$\frac{c}{a}$，即离心率e，再由α的范围确定e的范围．

解答 解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，
设左焦点为F′，
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，
又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，
又|AF|=2csinα，②
|BF|=2ccosα，③
把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$，即e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∵α∈[$\frac{π}{12}，\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e≤\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}]$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．