Question

（1）关于x的一元二次不等式2kx²+kx-

3

8

＜0的解集为R，求实数k的取值范围．
（2）求与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦点，且过点（3

2

，2）的双曲线方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,一元二次不等式的解法

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得

k＜0…(1) △=k2-4×2k×(- 3 8 )＜0…(2)

，由此能求出实数k的取值范围．
（2）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得c=2

5

，

(2 5 )2

a2

-

4

b2

=1，由此能求出双曲线的方程．

解答： 解：（1）由题意得：

k＜0…(1) △=k2-4×2k×(- 3 8 )＜0…(2)

，（2分）
不等式（2）化作：k²+3k＜0，（4分）
解得：-3＜k＜0．
则实数k的取值范围是（-3，0）．（6分）
（2）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由题意求得c=2

5

．（2分）
又双曲线过点(3

2

，2)，∴

(2 5 )2

a2

-

4

b2

=1，
又∵a²+b²=20，∴a²=12，b²=8．（4分）
故所求双曲线的方程为

x2

12

-

y2

8

=1．（6分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．