Question

20．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，有f′（x）＞2x²+$\frac{f（x）}{x}$，若a=f（1）-1，b=-$\frac{1}{2}$f（-2）-4，c=f（0）-1，则一定成立的是（　　）

• A． a＞b
• B． a＜c
• C． b＞c
• D． a＜b

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的单调性和奇偶性，从而比较函数值的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$-x²，（x≠0），
g′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）-{2x}^{3}}{{x}^{2}}$，
当x≠0时，有f′（x）＞2x²+$\frac{f（x）}{x}$，
故x＞0时，xf′（x）-f（x）-2x³＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∵f（-x）=-f（x），
∴g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$-x²=$\frac{f（x）}{x}$-x²=g（x），
∴g（x）是偶函数，
∴g（x）在（-∞，0）递减，
而g（1）=f（1）-1=a，g（2）=g（-2）═-$\frac{1}{2}$f（-2）-4=b，
∴a＜b，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．