Question

5．设函数f（x）的定义域为R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，且对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有三个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有三个不同零点，即可求实数m的取值范围．

解答 解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以2是f（x）的周期，
令h（x）=mx+m，
则函数h（x）恒过点（-1，0），
函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$在区间[-1，3]上的图象
如图所示：

由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=$\frac{1}{4}$；由x=1时，f（1）=1，可得1=m+m，则m=$\frac{1}{2}$
∴在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有三个不同零点时，实数m的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．