Question

20．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：

微信群数量	频数	频率
0至5个	0	0
6至10个	30	0.3
11至15个	30	0.3
16至20个	a	c
20个以上	5	b
合计	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；
（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布列的性质及$频率=\frac{频数}{总数}$，能求出a，b，c的值．
（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．
（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为$P=\frac{2}{5}$．X的所有可能取值0，1，2，3，由此能求出X的分布列和数学期望EX．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，
解得a=35，
∴$b=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$，$c=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$．…（3分）
（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，
则$P（A）=\frac{{C_{40}^1C_{60}^1}}{{C_{100}^2}}=\frac{16}{33}$．
所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为$\frac{16}{33}$．　…（7分）
（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为$P=\frac{2}{5}$．
X的所有可能取值0，1，2，3．…（8分）
则$P（{X=0}）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}{（1-\frac{2}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，
$P（{X=1}）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}{（1-\frac{2}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，
$P（{X=2}）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^2}{（1-\frac{2}{5}）^1}=\frac{36}{125}$，
$P（{X=3}）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}{（1-\frac{2}{5}）^0}=\frac{8}{125}$．
其分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

所以，$EX=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．