Question

3．设函数f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，记I_k=（2k-1，2k+1]（k∈Z）．已知当x∈I₀时，f（x）=x²，如图．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求使方程f（x）=ax在I_k（k∈N^*）上有两个不相等实数根的关于a的集合M_k．

Answer 1

分析 （1）利用函数的周期性求函数的表达式．
（2）将方程f（x）=ax转化为二次函数，利用二次函数根的分布求a的取值集合．

解答 解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴f（x-2k）=f（x）（k∈Z），…（1分）
当x∈I_k时，（x-2k）∈I_°，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²
∴f（x）的解析式为：∴f（x）=（x-2k）²，x∈I_k…（4分）
（2）当k∈N^*且x∈I_k时，方程f（x）=ax化为x²-（4k+a）x+4k²=0，…（6分）
令g（x）=x²-（4k+a）x+4k²…（7分）使方程f（x）=ax在I_k上有两个不相等的实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}△=a（a+8k）＞0\\ 2k-1＜\frac{4k+a}{2}≤2k+1\\ g（2k-1）=1-2ak+a＞0\\ g（2k+1）=1-2ak-a≥0\end{array}\right.$…（9分）
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0或a＜-8k\\-1＜a≤1\\ 0＜a＜\frac{1}{2k-1}\\ 0＜a≤\frac{1}{2k+1}\end{array}\right.$
∴$0＜a≤\frac{1}{2k+1}$…（11分）
∴${M_k}=\{a|0＜a≤\frac{1}{2k+1}\}$…（12分）

点评 本题主要考查函数周期性的应用，以及二次方程根的分布问题，考查学生的转化能力，综合性较强．