Question

10．已知抛物线Г：y²=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，准线为x=-1，倾斜角为锐角的直线l过点F且交抛物线于A（x，₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（其中y₁＜0，y₂＞0），与y轴交于C点．
（Ⅰ）M是抛物线Г在第一象限上的动点，则当$\frac{|MO|}{|MF|}$取得最大值时，试确定点M的坐标；
（Ⅱ）证明：点（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）在直线x-y+1=0上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}{d}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4m}}{m+1}$=$\sqrt{1+\frac{2m-1}{{m}^{2}+2m+1}}$，令2m-1=t，利用基本不等式求得最大值，从而确定点M的坐标；
（Ⅱ）证明：点（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）在直线x-y+1=0上，即证明（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$）在直线x-y+1=0上．

解答 （Ⅰ）解：准线为x=-1，焦点F（1，0），抛物线Г：y²=4x．
设M（m，n），则n²=4m，m＞0，n＞0，设M到准线x=-1的距离等于d，
则$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}{d}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+4m}}{m+1}$=$\sqrt{1+\frac{2m-1}{{m}^{2}+2m+1}}$．
令2m-1=t，t＞-1，则m=$\frac{1}{2}$（t+1），
∴$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\sqrt{1+\frac{4}{t+\frac{9}{t}+6}}$≤$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（当且仅当t=3时，等号成立）．
故$\frac{|MO|}{|MF|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，m=2，n=2$\sqrt{2}$
∴M（2，2$\sqrt{2}$）；
（Ⅱ）证明：点（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）即（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$），
设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=-1
∴（$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$）在直线x-y+1=0上，即点（$\frac{|CA|}{|AF|}$，$\frac{|CB|}{|BF|}$）在直线x-y+1=0上．

点评 本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，考查韦达定理的运用，体现了换元的思想，属于中档题．