Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，过定点M（m，0）（m＞0）作斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，E是M点关于坐标原点O的对称点，若直线AE和BE的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=0．

Answer 1

分析 由抛物线的准线方程可得p=2，可得抛物线的方程，设直线l的方程为y=k（x-m），k≠0，联立抛物线的方程，消去x，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合点满足抛物线的方程，即可得到所求和．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-1，
可得p=2，即有抛物线的方程为y²=4x．
直线l的方程为y=k（x-m），k≠0，
联立抛物线的方程，消去x，可得：
ky²-4y-4km=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4m，
又E是M点关于坐标原点O的对称点，即有E（-m，0），
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+m}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}+4m}$+$\frac{4{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}+4m}$
=4•$\frac{{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+4m（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（4m+{{y}_{1}}^{2}）（4m+{{y}_{2}}^{2}）}$=4•$\frac{-4m•\frac{4}{k}+4m•\frac{4}{k}}{（4m+{{y}_{1}}^{2}）（4m+{{y}_{2}}^{2}）}$=0．
故答案为：0．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式，注意点满足抛物线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．