Question

14．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$bx²+x．（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）在x₁=1，x₂=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；
（2）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，且对任意x∈[1，e]，都使得f（x）-x≤（a+2）（-$\frac{1}{2}$x²+x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=$\frac{1}{2}$a+2b+1=0，求得a，b的值，可得f（x）及导数，求得单调区间，可得极值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义，解方程可得a=-b，故f（x）=alnx-$\frac{a}{2}$x²+x，由题意可得a（x-lnx）≥x²-2x成立，由条件可得a≥$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），令g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（（x∈[1，e]），求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$bx²+x的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$+bx+1，
由在x₁=1，x₂=2处取得极值，可得f′（1）=a+b+1=0，f′（2）=$\frac{1}{2}$a+2b+1=0，
解得a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$，
此时f（x）=-$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{6}$x²+x，f′（x）=-$\frac{2}{3x}$-$\frac{1}{3}$x+1=-$\frac{（x-1）（x-2）}{3x}$，
列出表格：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	极小	增	极大	减

所以，在x=1取得极小值$\frac{1}{3}$，在x=2取得极大值$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$ln2；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，
则f′（1）=a+b+1=1，则a=-b，
故f（x）=alnx-$\frac{a}{2}$x²+x，
若f（x）-x=alnx-$\frac{a}{2}$x²≤（a+2）（-$\frac{1}{2}$x²+x）成立，
则a（x-lnx）≥x²-2x成立，
由x∈[1，e]，可得lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0．
因而a≥$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]）．                             
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]）
又g′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx≥0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数．
故g（x）的最大值为g（e）=-1，
则a的取值范围是[-1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用分离参数和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．