Question

14．已知O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow c$且点A、B、C在曲线x²+y²=1上运动，若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，则（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$）的最小值为（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． 1-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}-2$

Answer 1

分析 已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$的模长，可将问题转化为向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$的线性运算及数量积运算，运用所成角的范围确定最小值．

解答 由题知：$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$即$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$
又∵$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$
∴（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$）
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{c}}^{2}$
=$-\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）+1$
=$1-|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|cos$$＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$
=$1-\sqrt{2}$$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$
∵$＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞∈[0，π]$
∴$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}＞$∈[-1，1]
∴$1-\sqrt{2}≤$（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$）$≤1+\sqrt{2}$
故（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$）的最小值为$1-\sqrt{2}$．
故选择：C．

点评 考查数量积运算，向量垂直，向量夹角范围的考虑．属于中档题．