Question

若对任意正数x，y都有a≤

x+y

x+2 2xy

，则实数a的最大值是

1

2

．

Answer 1

分析：根据条件和基本不等式得x+2y≥2

2

xy，列出等号成立的条件，代入

x+y

x+2 2xy

求出式子的最小值，再求出a的范围和a的最大值．

解答：解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2

2

xy，当且仅当x=2y时取等号，
∴x+2

2

xy≤x+x+2y=2（x+y），当且仅当x=2y时取等号，
∵x＞0，y＞0，
∴x+2

2

＞0，x+y＞0，
∴

x+y

x+2 2xy

≥

x+y

2(x+y)

=

1

2

，
∵a≤

x+y

x+2 2xy

恒成立，
∴a≤

1

2

所以a的最大值是

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，以及恒成立问题，注意基本不等式的条件验证．