Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于A、B两点
（1）求出抛物线C的方程以及焦点坐标，准线方程；
（2）若直线l经过抛物线的焦点F，当线段AB的长为5时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的焦点F到准线的距离为2，求出p的值，可得抛物线C的方程，可得焦点坐标，准线方程；
（2）设直线l：x=ty+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）∵抛物线的焦点F到准线的距离为2，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；焦点F（1，0），准线方程x=-1；
（2）设直线l：x=ty+1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
代入y²=4x，消去x得y²-4ty-4=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}•\sqrt{16{t}^{2}+16}$=5
∴t=$±\frac{1}{2}$，∴直线l：x=$±\frac{1}{2}y+1，即$2x-y-2=0或2x+y-2=0．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．