Question

6．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，β=π-2α，利用cosβ=$\frac{3}{5}$=-cos2α=2sin²α-1求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[-$\frac{π}{3}$，2m-$\frac{π}{3}$]上的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意，β=π-2α，
∴cosβ=$\frac{3}{5}$=-cos2α=2sin²α-1
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上单调递增，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴tanα=2，
∴函数f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上的值域为[-$\sqrt{3}$，2]，
∴函数g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，m]上的值域为[-$\sqrt{3}$，2]，
∴y=sinx在[-$\frac{π}{3}$，2m-$\frac{π}{3}$]上的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴$\frac{π}{2}$≤2m-$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{5π}{12}$≤m≤$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．