Question

1．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-y+1≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最大值，可得2a+3b=1，然后结合基本不等式求得$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≤0\\ x-y+1≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（2，3），
化目标函数z=ax+by为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过B时，直线在y轴上的截距最大，等于2a+3b=1，
∴$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$=（$\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}$）（2a+3b）=2+$\frac{3b}{2a}+\frac{2a}{3b}$$≥2+2\sqrt{\frac{3b}{2a}•\frac{2a}{3b}}=4$．
当且仅当2a=3b，即$a=\frac{1}{4}，b=\frac{1}{6}$时上式等号成立．
故答案为：4．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．