Question

17．在平面直角坐标系中，已知圆C₁：（x+2）²+y²=m²和圆C₂：（x-2）²+y²=4-m²，其中m∈R，且0＜m＜2．
（I）若m=1，求直线x-$\sqrt{3}$y+1=0被圆C₁截得的弦长；
（Ⅱ）过点P（0，b）作直线l，使圆C₁和圆C₂在l的两侧，且均与1相切，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1时，圆心C₁（-2，0），半径r=1，圆心C₁到直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的距离d=$\frac{1}{2}$，由此能求出直线x-$\sqrt{3}$y+1=0被圆C₁截得的弦长．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，圆C₁的半径为d₁，圆C₂的半径为d₂，由已知得（$\frac{|-2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{|2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=4，又l₁，l₂在l的两侧，得（-2k+b）（2k+b）＜0，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）m=1时，⊙C₁：（x+2）²+y²=1，圆心C₁（-2，0），半径r=1，
圆心C₁到直线x-$\sqrt{3}$y+1=0的距离d=$\frac{|-2+1|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线x-$\sqrt{3}$y+1=0被圆C₁截得的弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，
∵直线l使圆C₁和圆C₂在l的两侧，且均与1相切，
设圆C₁的半径为d₁，圆C₂的半径为d₂，
C₁（-2，0），C₂（2，0），${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}={m}^{2}+4-{m}^{2}=4$，
∴（$\frac{|-2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+（$\frac{|2k+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=4，
∴$\frac{2（4{k}^{2}+{b}^{2}）}{{k}^{2}+1}$=4，
∴8k²+2b²=4k²+4，
∴b²=2-2k²，①
又l₁，l₂在l的两侧，
∴（-2k+b）（2k+b）＜0，
∴b²-4k²＜0，②
∴由①②，得${b}^{2}-4•\frac{2-{b}^{2}}{2}＜0$，
∴b²-2（2-b²）＜0，
解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}＜b＜\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查弦长的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质点到直线的距离公式的合理运用．