题目内容
4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知点P（0，$\frac{3}{2}$）到椭圆C的右焦点F的距离是$\frac{\sqrt{57}}{2}$．设经过点P且斜率存在的直线与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴相交于一点Q．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求点Q的横坐标x0的取值范围．
分析 （I）由题意可得：e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，$\sqrt{{c}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{2}$，又a2+b2=c2．联立解出即可得出．
（II）设直线AB的方程为：y=kx+$\frac{3}{2}$，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），直线AB的方程与题意方程联立化为：（1+4k2）x2+12kx-7=0，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得可得中点M的坐标，可得线段AB的中垂线方程，令y=0，可得x0，通过对k分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：（I）由题意可得：e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$，$\sqrt{{c}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{2}$，又a2+b2=c2．
联立解得：c2=12，a=4，b=2．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）设直线AB的方程为：y=kx+$\frac{3}{2}$，（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x3，y3），线段AB的中垂线方程为：y-y3=-$\frac{1}{k}$（x-x3）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+4k2）x2+12kx-7=0，
△＞0，∴x1+x2=-$\frac{12k}{1+4{k}^{2}}$，
∴x3=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$．
y3=kx3+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2（1+4{k}^{2}）}$．
∴线段AB的中垂线方程为：y-$\frac{3}{2（1+4{k}^{2}）}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$）．
令y=0，可得x0=$\frac{-9k}{2+8{k}^{2}}$=$\frac{-9}{2（\frac{1}{k}+4k）}$，
k＞0时，0＞x0≥$-\frac{9}{8}$．
k＜0时，0＜x0≤$\frac{9}{8}$．
k=0时，x0=0也满足条件．
综上可得：点Q的横坐标x0的取值范围是$[-\frac{9}{8}，\frac{9}{8}]$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | （1，2] | B． | （0，1）∪（1，2） | C． | （0，1）∪（1，2] | D． | （2，+∞）∪（0，1） |
如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的外接球的体积等于（ ）| A． | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}π$ | B． | $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}π$ | C． | $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$ | D． | 8π |
| A． | $\frac{5×3^5}{2^{12}}$ | B． | $\frac{3^6}{5×2^9}$ | C． | $\frac{5×3^6}{2^{14}}$ | D． | $\frac{3^7}{5×2^{11}}$ |
| A． | {x|x＜2} | B． | {x|x＜-1或x≥2} | C． | {x|x≥2} | D． | {x|x≤-1或x＞2} |