Question

抛物线y²=4x的焦点弦被焦点分成m和n两部分，则

1

m

+

1

n

=______．

Answer 1

∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），假设过F点的直线l的斜率存在，设为k，
则l的方程为：y=k（x-1），直线方程与抛物线方程联立消去y得：
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设直线l与抛物线y²=4x的两交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁、x₂为方程k²x²-（2k²+4）x+k²=0的两根，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁•x₂=1．
又由抛物线定义可得：
m+n=x₁+x₂+p=2+

4

k2

+2=4+

4

k2

，
m•n=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1=4+

4

k2

．
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=1．
②若k不存在，则AB方程为x=1，m=n=2，显然符合

1

m

+

1

n

=1．
综上所述：

1

m

+

1

n

=1．
故答案为：1．