Question

5．在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（2，0），M（8，0），N（0，8），若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=5，$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{3}$-t）$\overrightarrow{OM}$+（$\frac{2}{3}$+t）$\overrightarrow{ON}$（t为实数），则|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值是（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$-3
• B． 4$\sqrt{2}$+3
• C． 4$\sqrt{2}$-1
• D． 5

Answer 1

分析 利用向量知识，确定P、Q的轨迹方程，进而利用点到直线的距离公式，即可求|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

解答 解：，A（-2，0），B（2，0），若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=5，设P（a，b），可得（a+2）（a-2）+b²=5，即a²+b²=9，
可得：M（8，0），N（0，8），∵$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{3}$-t）$\overrightarrow{OM}$+（$\frac{2}{3}$+t）$\overrightarrow{ON}$，
∴P的轨迹是以半径为3、圆心在原点的圆，
∴Q，M，N三点共线，
∴Q的轨迹方程为直线MN：x+y-8=0，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即$\frac{|0+0-8|}{\sqrt{1+1}}$-3=4$\sqrt{2}$-3．
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积的应用，轨迹方程，考查向量知识的运用，确定P、Q的轨迹方程是关键．