Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左焦点为F（-1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率以及左焦点的坐标，求出a，c，解得b，即可得到椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用判别式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ c=1\end{array}\right.$，…（2分）
得a²=2，b²=1，…（4分）$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）设点D（0，2）且斜率为k的直线l：y=kx+2．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，…（7分）
化简，得（1+2k²）x²+8kx+6=0．…（8分）
则△=64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0…（10分）
$k＞\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$k＜-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
所以k的取值范围是：（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）．…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．