Question

10．已知C₁在直角坐标系下的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t-1\end{array}\right.（t为参数）$，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C₂：ρ=2cosθ-4sinθ．
（Ⅰ）将C₁的方程化为普通方程，并求出C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C₁和C₂两交点之间的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的互化方法，即可将C₁的方程化为普通方程，并求出C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）求出圆心（1，-2）到直线的距离，即可求曲线C₁和C₂两交点之间的距离．

解答 解：（Ⅰ）C₁在直角坐标系下的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t-1\end{array}\right.（t为参数）$，消参后得C₁为y-2x+1=0．
由ρ=2cosθ-4sinθ得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ．∴x²+y²=2x-4y，
∴C₂的直角坐标方程为（x-1）²+（y+2）²=5..…（5分）
（Ⅱ）∵圆心（1，-2）到直线的距离$d=\frac{{|{-2-2+1}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$．
∴$|{AB}|=2\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-{{（\frac{3}{{\sqrt{5}}}）}^2}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）

点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．