Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；
②△PMN必为等边三角形；
③直线PM必与抛物线相切；
④直线PM必与抛物线相交．
其中正确的命题是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，可求得F、P、M、N四点的坐标，由F为MN的中点，且|PF|=

1

2

|MN|，易判断△PMN为直角三角形，可判断①与②；
直线PM的方程为y=x+

p

2

，与抛物线y²=2px联立消去x，易得，△=4p²-4p²=0，可判断③与④，从而可得答案．

解答： 解：由已知得F（

p

2

，0），P（-

p

2

，0），M（

p

2

，p），N（

p

2

，-p），则F为MN的中点，且|PF|=

1

2

|MN|，
∴△PMN为直角三角形，易得|PM|≠|MN|，故①正确，②不正确；
直线PM的方程为y=x+

p

2

，与抛物线y²=2px联立消去x，得y²-2py+p²=0，△=4p²-4p²=0，
∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④不正确．
故选：A．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查抛物线的标准方程与几何性质，考查作图、分析与综合运算能力，考查转化思想与方程思想．