Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且2nS_n=（n+1）S_n+1+（n-1）S_n-1（n≥2，n∈N），则S₃₀=$\frac{34}{5}$．

Answer 1

分析 2nS_n=（n+1）S_n+1+（n-1）S_n-1（n≥2，n∈N），可得（n-1）a_n=（n+1）a_n+1，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．利用“累乘求积”可得a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵2nS_n=（n+1）S_n+1+（n-1）S_n-1（n≥2，n∈N），
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n+1，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×a₂=$\frac{n-2}{n}×\frac{n-3}{n-1}×\frac{n-4}{n-2}$×…×$\frac{2}{4}×\frac{1}{3}$×3=$\frac{6}{n（n-1）}$=6$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴S₃₀=1+6×$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{29}-\frac{1}{30}）]$
=1+6×$（1-\frac{1}{30}）$
=$\frac{34}{5}$．
故答案为：$\frac{34}{5}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”、裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．