Question

任意x∈[0，

π

3

]，使3cos²

x

2

+√3sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：要使3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

恒成立，只需3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

的最大值小于a+

3

2

即可，由三角函数知识求最大值可得a的不等式，解不等式可得．

解答： 解：要使3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

恒成立，
只需3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

的最大值小于a+

3

2

即可，
令y=3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

，x∈[0，

π

3

]，
则y=3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

=3•

1+cosx

2

+

3

2

sinx
=

3

2

cos2x+

3

2

sinx+

3

2

=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
∵x∈[0，

π

3

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，
∴当sin（2x+

π

3

）=1时，y=

3

sin（2x+

π

3

）+

3

2

取最大值

3

+

3

2

，
∴只需

3

+

3

2

＜a+

3

2

，解得a＞

3

故答案为：a＞

3

点评：本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题，属中档题．