Question

11．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点N（1，t）到准线的距离是2．
（1）求抛物线的方程；
（2）M点的坐标为（2，0）．过抛物线的焦点F作斜率为k₁的直线与抛物线交于A、B两点，A，B两点的横坐标均不为2，连接AM，BM并延长交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点N（1，t）到准线的距离是2，可得1+$\frac{p}{2}$=2，求出p，由此能求出抛物线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，由此利用直线方程结合已知条件能求出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

解答 解：（1）∵抛物线E：y²=2px（p＞0）上一点N（1，t）到准线的距离是2，
∴1+$\frac{p}{2}$=2，
∴p=2，
∴y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₂=$\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
设AC所在的直线方程为y=m（x-2），
联立y²=4x，得my²-4y-8m=0，
∴y₁y₃=-8，同理，y₂y₄=-8，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{8}{{y}_{1}{y}_{2}}$，
设直线AB的方程为y=k₁（x-1），
联立y²=4x，得k₁y²-4y-4k₁=0，
∴y₁y₂=-4，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{8}{{y}_{1}{y}_{2}}$=2．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线方程的合理运用．