Question

某射击运动员为争取获得2010年广州亚运会的参赛资格正在加紧训练．已知在某次训练中他射击了n枪，每一枪的射击结果相互独立，每枪成绩不低于10环的概率为p，设ξ为本次训练中成绩不低于10环的射击次数，ξ的数学期望，方差．
（1）求n，p的值；
（2）训练中教练要求：若有5枪或5枪以上成绩低于10环，则需要补射，求该运动员在本次训练中需要补射的概率．（结果用分数表示．已知：4¹⁰=1048576，120×3³+210×3⁴+252×3⁵=81486）

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意知每一枪的射击结果相互独立，每枪成绩不低于10环的概率为p，ξ服从二项分布ξ～B（n，p），根据条件中所给的期望和方差的值，代入二项分布求期望和方差的公式，解方程组得到结果．
（2）该运动员在本次训练中需要补射表示有5枪或5枪以上成绩低于10环，ξ为本次训练中成绩不低于10环的射击次数，依题意知ξ的可能取值为：0，1，…，10，把具体数据代入公式P（ξ=k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k（k=0，1，…，10），得到结果．
解答：解：（1）∵依题意知每一枪的射击结果相互独立，每枪成绩不低于10环的概率为p，
∴ξ服从二项分布ξ～B（n，p）
∴①
②
由①②联立解得：
（2）该运动员在本次训练中需要补射表示有5枪或5枪以上成绩低于10环，
ξ为本次训练中成绩不低于10环的射击次数，
依题意知ξ的可能取值为：0，1，…，10
∵P（ξ=k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k（k=0，1，…，10）
∴P（ξ≤5）=P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+…+P（ξ=5）
=
=
=
==．
∴该运动员在本次训练中需要补射的概率为．
点评：本题是一个离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．