Question

4．某产品近5年的广告费支出x（百万元）与产品销售额y（百万元）的数据如表：

x	1	2	3	4	5
y	50	60	70	80	100

（Ⅰ）求y关于x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（Ⅱ）用所求回归方程预测该产品广告费支出6百万元的产品销售额y．
附：线性回归方程y=bx+a中，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归直线方程的系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$即可；
（Ⅱ） 把x=6代入回归方程求出对应$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）根据表中数据，计算
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（50+60+70+80+100）=72；…（2分）
又$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=50×1+60×2+70×3+80×4+100×5=1200，
所以回归直线方程系数为
$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{1200-5×3×72}{55-5{×3}^{2}}$=12，
$a=\overline y-b\overline x$=72-12×3=36，
所以y关于x的回归方程是：$\hat y=12x+36$；…（6分）
（Ⅱ） 把x=6代入回归方程，得$\stackrel{∧}{y}$=12×6+36=108百万元；
故预测该产品广告费支出6百万元的产品销售额为108百万元．…（10分）

点评 本题考查了线性回归直线方程的求法与应用问题，是基础题目．