Question

15．函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0），其最小正周期为π
（1）求ω
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的公式将函数进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．
（2）求出角2x+$\frac{π}{3}$的范围，结合正弦函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2ωx）+$\frac{1}{2}$sin2ωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）
∵函数f（x）最小正周期是π，
∴P=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；
（2）∵ω=1，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
当x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}$]，
则-$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，函数取得最小值，此时最小值为y=sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期公式，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．