Question

1．函数f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$的值域为（-$\frac{4\sqrt{10}}{5}，\sqrt{10}$]．

Answer 1

分析 当cosx=-1时，f（x）=3；当cosx≠-1时令$sinx=\frac{2k}{1+{k}^{2}}，cosx=\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，代入f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$，化为关于k的函数，然后对k分类变形，再令3k+1=t换元，运用二次函数求最值得答案．

解答 解：当cosx=-1时，f（x）=3；
当cosx≠-1时，令$sinx=\frac{2k}{1+{k}^{2}}，cosx=\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
则g（k）=f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$=$\frac{3+\frac{10k}{1+{k}^{2}}}{\sqrt{5+\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+\frac{6k}{1+{k}^{2}}}}$
=$\frac{3{k}^{2}+10k+3}{\sqrt{（{k}^{2}+1）•（k+3）^{2}}}$=$\frac{（k+3）（3k+1）}{\sqrt{{k}^{2}+1}|k+3|}$．
当-3＜k＜$-\frac{1}{3}$时，g（k）=-$\sqrt{\frac{（k+3）^{2}（3k+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（k+3）^{2}}}$=$-\sqrt{\frac{（3k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再令3k+1=t（-8＜t＜0），
则h（t）=$-\sqrt{\frac{9{t}^{2}}{{t}^{2}-2t+10}}$=$-\sqrt{\frac{9}{10•\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}+1}}$∈$（-\frac{4\sqrt{10}}{5}，0）$；
当h＜-3或k$≥-\frac{1}{3}$时，g（k）=$\sqrt{\frac{（k+3）^{2}（3k+1）^{2}}{（{k}^{2}+1）（k+3）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（3k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再令3k+1=t（t＜-8或t≥0），
则h（t）=$\sqrt{\frac{9{t}^{2}}{{t}^{2}-2t+10}}=\sqrt{\frac{9}{10•\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}+1}}$∈[0，$\sqrt{10}$]．
综上，函数f（x）=$\frac{3+5sinx}{\sqrt{5+4cosx+3sinx}}$的值域为：（-$\frac{4\sqrt{10}}{5}，\sqrt{10}$]．
故答案为：（-$\frac{4\sqrt{10}}{5}，\sqrt{10}$]．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了换元法求函数的值域，属难题．